Многогранник — это трехмерное геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольными гранями. Представьте коробку из-под хлопьев или пирамиду: обе эти фигуры принадлежат к данному семейству.
В пространственной геометрии, также называемой стереометрией, многогранники связывают простые плоские многоугольники с осязаемыми структурами, которые можно взять в руки, построить и измерить.
Как устроен многогранник
Грани — это плоские поверхности, ограничивающие объемное тело. Две грани сходятся вдоль отрезка, называемого ребром, а три или более ребер сходятся в точке — вершине. Двугранные углы определяют углы между соседними гранями.
У выпуклых многогранников нет вмятин внутрь: любой отрезок, соединяющий две любые точки тела, целиком остается внутри него. Вогнутые (невыпуклые) многогранники эту проверку не проходят. Представьте, что вы натягиваете резиновую оболочку вокруг множества точек, не лежащих в одной плоскости: наименьшее выпуклое тело, заключающее их в себе, называется их выпуклой оболочкой.
Каждый выпуклый многогранник подчиняется формуле Эйлера: V − E + F = 2. Здесь V — число вершин, E — число ребер, а F — число граней. Эта знакопеременная сумма представляет собой эйлерову характеристику поверхности. Для куба: 8 − 12 + 6 = 2.
Пять платоновых тел
Выпуклые правильные многогранники имеют конгруэнтные грани — абсолютно одинаковые по форме и размеру, — образованные правильными многоугольниками, у которых равны все стороны и углы. В каждой вершине сходится одинаковое число граней. Этим строгим критериям соответствуют лишь пять фигур — платоновы тела.
Полуправильные и неправильные многогранники удовлетворяют не всем этим условиям, хотя также могут обладать симметрией. Например, архимедовы тела состоят из правильных многоугольников нескольких видов с одинаковым расположением вершин. Среди двойственных многогранников куб образует пару с октаэдром, а додекаэдр — с икосаэдром: их грани и вершины меняются ролями, тогда как количество ребер остается прежним.
- Правильный тетраэдр: четыре грани в форме правильных треугольников, шесть ребер и четыре вершины
- Куб: шесть квадратных граней, 12 ребер и восемь вершин
- Правильный октаэдр: восемь граней в форме правильных треугольников, 12 ребер и шесть вершин
- Правильный додекаэдр: 12 граней в форме правильных пятиугольников, 30 ребер и 20 вершин
- Правильный икосаэдр: 20 граней в форме правильных треугольников, 30 ребер и 12 вершин
Призмы и пирамиды
У призм есть два равных параллельных многоугольных основания, соединенных боковыми гранями-параллелограммами. Если в основании лежит n-угольник, у призмы будет n + 2 граней, 3n ребер и 2n вершин. У прямоугольной призмы (параллелепипеда) шесть граней, а у треугольной — пять.
Пирамиды соединяют одно многоугольное основание с вершиной с помощью треугольных боковых граней. При основании с n сторонами пирамида имеет n + 1 граней, 2n ребер и n + 1 вершин. Следовательно, у четырехугольной пирамиды пять граней, восемь ребер и пять вершин.
Измерение многогранников
Площадь поверхности равна сумме площадей всех ее граней. Геометрические развертки — плоские схемы из многоугольников, складывающиеся в объемные тела, — помогают наглядно учесть каждую грань. А сечения показывают плоские фигуры, которые образуются, когда плоскость рассекает многогранник.
Объем измеряет внутреннее пространство фигуры. Чтобы найти объем призмы, умножьте площадь ее основания на расстояние по перпендикуляру между плоскостями оснований (высоту). Для пирамиды умножьте площадь основания на перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания и разделите результат на три. Главное — не подставляйте вместо этой высоты длину наклонного ребра.
Эта статья создана с использованием технологий ИИ, а затем проверена и отредактирована редакторами HowStuffWorks.
